2.1.4 모델 기반 접근의 전제 조건: 정확한 물리 모델과 시스템 식별(System ID)의 필요성

2.1.4 모델 기반 접근의 전제 조건: 정확한 물리 모델과 시스템 식별(System ID)의 필요성

1. 서론: 자율 시스템의 신뢰성을 결정짓는 물리적 진실

현대 로보틱스, 특히 고속 정밀 제어와 인간-로봇 상호작용(HRI)이 요구되는 분야에서 ’모델 기반 제어(Model-Based Control)’는 더 이상 선택적인 고급 기술이 아닌, 시스템의 성능 한계를 돌파하기 위한 필수적인 패러다임으로 자리 잡았다. 모델 예측 제어(MPC), 계산 토크 제어(Computed Torque Control), 그리고 전신 제어(Whole-Body Control)와 같은 현대적 제어 이론들은 모두 하나의 핵심적인 가정 위에 성립한다. 그것은 바로 제어기 내부에 탑재된 ’수학적 모델’이 실제 물리 세계의 로봇 거동을 정확하게 모사할 수 있다는 전제이다.1

과거의 산업용 로봇은 높은 감속비와 강성을 가진 하드웨어 덕분에, 시스템의 동역학을 단순화하거나 무시하는 PID 제어와 같은 모델 독립적(Model-Free) 기법만으로도 충분한 성능을 발휘할 수 있었다. 그러나 로봇이 정형화된 공장을 벗어나 비정형 환경에서 주행하거나, 유연한 관절을 가진 협동 로봇이 도입되고, 에너지 효율을 위해 경량화된 구조가 채택됨에 따라 상황은 급변하였다. 관성 모멘트의 변화, 코리올리 힘과 같은 비선형 동역학, 그리고 관절 마찰과 같은 복잡한 물리 현상은 더 이상 무시할 수 없는 주된 외란 요소가 되었으며, 이를 피드백 루프만으로 제어하는 것은 시스템의 대역폭과 안정성을 심각하게 저하시키는 결과를 초래한다.3

이 지점에서 **시스템 식별(System Identification)**의 중요성이 대두된다. 시스템 식별은 로봇이라는 물리적 실체를 수학적 방정식으로 번역하고, 그 방정식의 계수(Parameter)를 실험 데이터를 통해 정밀하게 추정해내는 과정이다. 이는 단순한 측정 작업이 아니라, 로봇 공학, 신호 처리, 통계학, 최적화 이론이 융합된 고도의 엔지니어링 프로세스이다. 정확한 모델이 없다면, 아무리 정교한 최적 제어 알고리즘이라 할지라도 부정확한 예측에 기반하여 잘못된 제어 입력을 생성할 뿐이며, 이는 “쓰레기를 넣으면 쓰레기가 나온다(Garbage In, Garbage Out)“는 데이터 과학의 원칙이 제어 이론에서도 그대로 적용됨을 시사한다.5

본 장에서는 모델 기반 접근의 성공을 위한 전제 조건으로서, 로봇 동역학 모델의 수학적 구조를 심도 있게 분석하고, 모델의 불확실성이 제어 성능에 미치는 파괴적인 영향을 이론적으로 규명한다. 나아가, 이러한 불확실성을 최소화하기 위한 시스템 식별의 전 과정—가진 궤적의 최적화부터 파라미터 추정 알고리즘까지—을 상세히 기술함으로써, 독자가 강인하고 고성능의 로봇 제어 시스템을 설계하는 데 필요한 통찰력을 제공하고자 한다.

2. 로봇 동역학(Robot Dynamics)의 심층 구조와 수식적 본질

시스템 식별을 논하기에 앞서, 식별의 대상이 되는 물리 모델, 즉 강체 동역학(Rigid Body Dynamics)의 구조적 특성을 이해하는 것이 선행되어야 한다. 로봇의 동적 거동은 주로 라그랑주(Lagrange) 역학이나 뉴턴-오일러(Newton-Euler) 역학을 통해 유도되는데, 이 두 방식은 접근법은 다르지만 물리적으로 등가인 결론에 도달한다.

2.1 동역학 방정식의 일반형과 물리적 의미

n 자유도(Degrees of Freedom)를 가진 직렬 매니퓰레이터의 운동 방정식은 일반적으로 다음과 같은 2계 비선형 벡터 미분방정식의 형태로 표현된다 7:
M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + G(q) + F(\dot{q}) + \tau_{ext} = \tau
이 식의 각 항은 로봇의 물리적 특성을 대변하며, 시스템 식별 과정에서 각각의 항을 구성하는 파라미터들을 분리해내는 것이 목표가 된다.

  1. 관성 행렬 (Inertia Matrix) M(q):

M(q) \in \mathbb{R}^{n \times n}은 로봇의 현재 자세 q에 따라 변화하는 질량 분포를 나타낸다. 이 행렬은 시스템 식별 및 제어 관점에서 다음과 같은 중요한 수학적 성질을 가진다 7:

  • 대칭성(Symmetry): M(q) = M(q)^T. 이는 파라미터 추정 시 계산 복잡도를 줄이는 데 기여한다.
  • 양의 정부호(Positive Definiteness): 모든 q에 대해 x^T M(q) x > 0 (x \neq 0)을 만족한다. 이는 물리적으로 운동 에너지가 항상 양수임을 의미하며, 역동역학 해석 시 가속도를 유일하게 결정할 수 있게 하는(역행렬 존재) 근거가 된다.
  • 유계성(Boundedness): 로봇이 물리적 기구학적 한계 내에서 움직일 때, 관성 행렬의 고유값(Eigenvalue)들은 위와 아래가 막혀 있다(\lambda_{min} I \le M(q) \le \lambda_{max} I).
  • 코리올리 및 원심력 (Coriolis and Centrifugal Forces) C(q, \dot{q})\dot{q}:

다관절 로봇의 비선형성을 가장 극명하게 보여주는 항이다. 원심력은 \dot{q}_i^2 항에 비례하며, 코리올리 힘은 서로 다른 관절 속도의 곱 \dot{q}_i \dot{q}_j에 비례한다.

  • 중요한 구조적 특성으로, 적절히 정의된 C(q, \dot{q}) 행렬에 대해 \dot{M}(q) - 2C(q, \dot{q})는 반대칭(Skew-symmetric) 행렬이 된다. 이 성질(x^T (\dot{M} - 2C) x = 0)은 적응 제어(Adaptive Control)의 안정성 증명(Lyapunov Stability Proof)에서 핵심적인 역할을 한다.2
  • 중력 벡터 (Gravity Vector) G(q):

로봇 링크의 질량 중심에 작용하는 중력에 의해 발생하는 관절 토크이다. 위치 에너지 P(q)의 편미분 G(q) = \frac{\partial P(q)}{\partial q}으로 정의된다. 정적 식별(Static Identification) 실험을 통해 비교적 쉽게 추정할 수 있으나, 마찰력과 결합될 경우 분리가 까다로울 수 있다.7

  1. 마찰 및 외란 항 (Friction and Disturbance):

실제 시스템 식별에서 가장 큰 난관은 F(\dot{q})로 표현되는 마찰 모델링이다. 단순한 쿨롱(Coulomb) 및 점성(Viscous) 마찰 모델 외에도, 저속 구간에서의 스트라이벡(Stribeck) 효과나 루그레(LuGre) 모델과 같은 동적 마찰 모델이 필요할 수 있다. \tau_{ext}는 환경과의 접촉 힘이나 모델링되지 않은 외란을 포함한다.10

2.2 동역학적 선형성(Linearity in Parameters)과 회귀 행렬

로봇 동역학 방정식은 상태 변수 q, \dot{q}에 대해서는 고도로 비선형적이지만, 관성 파라미터(Inertial Parameters) \pi에 대해서는 선형적이라는 매우 중요한 특징을 가진다.12 이는 현대 시스템 식별 이론의 근간이 되는 성질이다.

어떤 링크 i의 동역학적 특성은 10개의 표준 관성 파라미터로 완전히 기술된다:

  • 질량: m_i (1개)
  • 질량 중심 모멘트(First Moment of Inertia): m_i c_{i,x}, m_i c_{i,y}, m_i c_{i,z} (3개)
  • 관성 텐서(Inertia Tensor)의 성분: I_{xx}, I_{xy}, I_{xz}, I_{yy}, I_{yz}, I_{zz} (6개)

이러한 파라미터들을 벡터 \pi로 묶으면, 동역학 식은 다음과 같은 선형 회귀 형태(Linear Regression Form)로 재구성된다 13:
\tau = Y(q, \dot{q}, \ddot{q}) \pi
여기서 Y(q, \dot{q}, \ddot{q}) \in \mathbb{R}^{n \times p}는 회귀 행렬(Regressor Matrix) 또는 정보 행렬이라 불린다. 이 행렬은 오직 로봇의 기구학적 정보(링크 길이, 회전축 방향 등)와 측정된 운동 상태(위치, 속도, 가속도)만으로 구성된다. 즉, Y 행렬은 우리가 ‘알고 있는’ 또는 ‘측정 가능한’ 값들로 이루어지며, \pi는 ‘알아내야 할’ 미지수가 된다.

이 수식적 변환 덕분에, 복잡한 비선형 최적화 문제를 풀지 않고도 **최소자승법(Least Squares, LS)**과 같은 고전적이고 강력한 선형 대수학 기법을 통해 로봇의 물리 파라미터를 추정할 수 있게 된다.17 Khosla와 Kanade 18, Atkeson 19 등의 선구적인 연구자들은 이 성질을 이용하여 로봇 시스템 식별의 이론적 토대를 마련하였다.

특징기존 동역학 식 (M,C,G)선형 파라미터 식 (Yπ)
변수 관점상태 변수(q, \dot{q})에 대해 비선형파라미터(\pi)에 대해 선형
주 용도시뮬레이션(순동역학), 제어기 설계파라미터 추정, 적응 제어
계산 복잡도O(n) ~ O(n^3)행렬 연산 (n \times p)
식별 난이도비선형 최적화 필요 (Local Minima 위험)선형 최소자승법 가능 (Global Optimum 보장)

3. 모델 불확실성(Model Uncertainty)이 제어 성능에 미치는 영향

“모델이 조금 부정확하다고 해서 제어가 실패하는가?“라는 질문에 대한 답은 제어 기법의 종류와 요구되는 성능 수준에 따라 달라진다. 그러나 고성능 모델 기반 제어에 있어서 모델 오차는 단순한 성능 저하를 넘어 시스템의 **강인성(Robustness)**과 **안정성(Stability)**을 위협하는 치명적인 요인이다.

3.1 계산 토크 제어(Computed Torque Control)와 오차 동역학의 붕괴

계산 토크 제어(CTC)는 비선형 동역학을 모델을 이용해 상쇄(Cancelation)시킴으로써, 복잡한 로봇 시스템을 마치 선형 2계 시스템(Double Integrator)처럼 거동하게 만드는 피드백 선형화(Feedback Linearization) 기법이다.2

이상적인 제어 법칙은 다음과 같다:
\tau_{cmd} = \hat{M}(q)(\ddot{q}_d + K_d \dot{e} + K_p e) + \hat{C}(q, \dot{q})\dot{q} + \hat{G}(q) + \hat{F}(\dot{q})
여기서 \hat{M}, \hat{C}, \hat{G}는 식별된 모델 파라미터이며, e = q_d - q는 추종 오차이다.

만약 모델이 완벽하다면(\hat{M}=M, \hat{C}=C 등), 폐루프 시스템의 오차 동역학은 다음과 같이 깔끔한 선형 미분방정식이 된다:
\ddot{e} + K_d \dot{e} + K_p e = 0
이는 적절한 게인 K_p, K_d 설정만으로 오차가 0으로 지수적으로 수렴함(Exponential Convergence)을 보장한다.

그러나 실제로는 모델 오차(\Delta M = M - \hat{M}, \Delta C = C - \hat{C} 등)가 존재하며, 실제 오차 동역학은 다음과 같이 변질된다 4:
\ddot{e} + K_d \dot{e} + K_p e = \hat{M}^{-1} \left( \Delta M \ddot{q} + \Delta C \dot{q} + \Delta G + \Delta F \right) = \Phi(q, \dot{q}, \ddot{q})
이 식의 우변 항 \Phi는 모델 오차에 의해 유발되는 구조적 외란(Structural Disturbance)이다. 이 외란 항은 다음과 같은 심각한 문제를 야기한다:

  1. 정상 상태 오차(Steady-State Error): 중력 항의 오차 \Delta G가 존재할 경우, 로봇이 정지해 있어도 오차가 0으로 수렴하지 않고 편차(Bias)가 남게 된다.
  2. 동적 성능 저하: 코리올리 항의 오차 \Delta C \dot{q}는 속도의 제곱에 비례하므로, 로봇이 고속으로 움직일수록 외란의 크기가 급격히 증가한다. 이는 고속 궤적 추종 시 궤적 이탈을 유발한다.
  3. 안정성 훼손: \hat{M}^{-1} M 항이 단위 행렬에서 멀어질수록 유효 루프 이득이 변동하게 되며, 이는 제어 시스템의 위상 여유(Phase Margin)를 갉아먹어 진동이나 발산을 초래할 수 있다.3

3.2 모델 예측 제어(MPC)에서의 예측 오차 누적

모델 예측 제어(MPC)는 현재 상태에서 모델을 이용해 미래의 거동을 예측하고, 비용 함수를 최소화하는 최적의 제어 입력을 계산하는 방식이다. 여기서 모델의 역할은 ’내비게이션’과 같다. 지도가 잘못되어 있다면 내비게이션은 엉뚱한 경로를 안내할 것이다.1

이산 시간 상태 공간 모델 x_{k+1} = f(x_k, u_k)를 가정할 때, 실제 시스템과 모델 간의 불일치 d_k = x_{k+1}^{real} - f(x_k, u_k)가 존재한다고 하자. MPC가 N 스텝 미래를 예측할 때, k+N 시점에서의 예측 오차 \epsilon_{k+N}은 다음과 같이 누적된다 6:
\epsilon_{k+N} \approx \sum_{i=0}^{N-1} \left( \prod_{j=i+1}^{N-1} \frac{\partial f}{\partial x} \right) d_{k+i}
이 수식은 초기 모델 오차나 매 스텝 발생하는 모델 불일치가 예측 구간(Prediction Horizon)이 길어질수록, 그리고 시스템의 불안정성(Jacobian \frac{\partial f}{\partial x}의 크기)이 클수록 기하급수적으로 증폭됨을 보여준다.

  • 제약 조건 위반(Constraint Violation): MPC의 가장 큰 장점은 관절 각도, 토크, 충돌 회피 등의 제약 조건을 명시적으로 다룰 수 있다는 점이다. 그러나 모델 오차로 인해 예측된 상태가 안전 영역 내에 있더라도, 실제 로봇은 제약 조건을 위반하여 하드웨어 손상을 입거나 안전사고를 유발할 수 있다.22
  • 최적성의 상실: 모델 오차는 비용 함수(Cost Function)의 지형(Landscape)을 왜곡시켜, 실제로는 최적이 아닌 해를 최적해로 오인하게 만든다.

결론적으로, 강인 제어(Robust Control)나 적응 제어(Adaptive Control)와 같은 기법들이 모델 불확실성을 어느 정도 보상할 수 있다 하더라도, 그 보상 능력에는 한계가 있다. 시스템 식별을 통해 ’공칭 모델(Nominal Model)’의 오차를 최소화하는 것은 제어기의 부담을 줄이고 잠재적인 성능을 최대로 끌어올리기 위한 필수 불가결한 선결 조건이다.

4. 정확한 물리 모델 획득을 위한 시스템 식별 절차

정확한 물리 모델을 얻기 위한 시스템 식별은 단순히 데이터를 모아서 피팅(Fitting)하는 것 이상의 정교한 절차를 요구한다. 이는 1) 식별 가능한 모델 구조의 결정, 2) 최적 가진 궤적의 설계, 3) 고품질 데이터 수집 및 전처리, 4) 파라미터 추정 및 검증의 단계적 접근을 통해 이루어진다.

4.1 1단계: 식별 가능한 최소 파라미터 집합(Base Parameters)의 도출

앞서 언급한 선형 파라미터 식 Y\pi = \tau에서, \pi 벡터에 포함된 모든 파라미터를 개별적으로 식별하는 것은 수학적으로 불가능한 경우가 많다. 이는 로봇의 기구학적 구조로 인해 특정 파라미터들이 서로 결합되어 동역학에 영향을 미치거나, 일부 파라미터는 운동에 전혀 영향을 주지 않기 때문이다.14

예를 들어:

  • 로봇의 베이스(Base) 링크에 고정된 질량이나 관성은 로봇의 운동 방정식에 나타나지 않는다.
  • 순수한 회전 관절(Revolute Joint)만을 가진 로봇에서, 회전축 대칭인 링크의 질량 중심 성분이나 관성 모멘트 성분은 서로 선형 종속(Linearly Dependent)적인 관계를 가질 수 있다.

따라서 전체 표준 파라미터 집합에서 중복을 제거하고 선형 독립적인 파라미터들만을 추려내야 하는데, 이를 기저 파라미터(Base Parameters) 또는 **최소 파라미터 집합(Minimal Parameter Set)**이라 한다.

이를 도출하기 위해 다음과 같은 수치적/해석적 기법이 사용된다:

  • QR 분해(QR Decomposition) 및 SVD(Singular Value Decomposition): 수치적으로 회귀 행렬 Y에 무작위 값을 대입한 후 랭크(Rank)를 분석하여 종속적인 열(Column)을 제거한다.
  • 에너지 정리 기반 접근: Gautier와 Khalil 14 등은 로봇의 총 에너지를 이용하여 기저 파라미터를 체계적으로 그룹화하는 기호적(Symbolic) 알고리즘을 제안하였다.

이 단계를 거치지 않고 식별을 수행하면, 회귀 행렬의 조건수(Condition Number)가 무한대가 되어 추정값이 발산하거나 물리적으로 의미 없는 값을 가지게 된다.

4.2 2단계: 최적 가진 궤적(Optimal Excitation Trajectory)의 설계

시스템 식별 실험의 성패는 **“로봇을 어떻게 움직여서 데이터를 얻을 것인가?”**에 달려 있다. 단순히 로봇을 무작위로 움직이거나 단순한 작업을 반복하는 것만으로는 충분한 동역학 정보를 얻을 수 없다. 예를 들어, 로봇을 천천히 움직이면 가속도 항과 관련된 관성 정보를 얻기 힘들고, 코리올리 힘은 거의 발생하지 않아 관련 파라미터가 식별되지 않는다.24 이를 지속적 가진(Persistent Excitation) 조건이라 한다.

최적의 궤적은 다음의 최적화 문제를 통해 설계된다.

  1. 궤적의 매개변수화 (Trajectory Parameterization):

가진 궤적은 주로 **유한 푸리에 급수(Finite Fourier Series)**의 합으로 표현된다.26
q_i(t) = \sum_{k=1}^{N_h} \left( \frac{a_{i,k}}{\omega_f k} \sin(\omega_f k t) - \frac{b_{i,k}}{\omega_f k} \cos(\omega_f k t) \right) + q_{i,0}
푸리에 급수를 사용하는 이유는 다음과 같다:

  • 주기성(Periodicity): 궤적을 주기적으로 반복 수행할 수 있어, 데이터를 시간 영역에서 평균화(Averaging)하여 신호 대 잡음비(SNR)를 획기적으로 개선할 수 있다.
  • 해석적 미분: 위치 궤적이 삼각함수이므로, 속도와 가속도를 수치 미분 없이 해석적으로 정확하게 구할 수 있다. 이는 수치 미분 시 발생하는 양자화 잡음 증폭 문제를 근본적으로 해결한다.26
  • 주파수 제한: 로봇의 구조적 공진 주파수(Structural Resonance)를 피하도록 가진 주파수 대역을 명확히 제한할 수 있다.
  • 최적화 기준 (Optimization Criteria):

궤적의 계수 a_{i,k}, b_{i,k}는 관측 행렬(Observation Matrix) \mathbf{W}의 통계적 성질을 좋게 만들도록 최적화된다. 가장 널리 쓰이는 기준은 **조건수(Condition Number)**의 최소화이다.15
\mathbf{W} = \begin{bmatrix} Y(q(t_1), \dot{q}(t_1), \ddot{q}(t_1)) \\ \vdots \\ Y(q(t_M), \dot{q}(t_M), \ddot{q}(t_M)) \end{bmatrix}

\min_{Trajectory} \kappa(\mathbf{W}) = \frac{\sigma_{max}(\mathbf{W})}{\sigma_{min}(\mathbf{W})}

조건수 \kappa(\mathbf{W})가 1에 가까울수록, 관측 행렬의 모든 방향(모든 파라미터 조합)에 대해 균일한 정보를 얻을 수 있음을 의미한다. 반대로 조건수가 크면 특정 파라미터에 대한 정보가 빈약하여, 측정 잡음 \delta \tau가 파라미터 추정 오차 \delta \pi를 크게 증폭시킨다 (\frac{\|\delta \pi\|}{\|\pi\|} \le \kappa(\mathbf{W}) \frac{\|\delta \tau\|}{\|\tau\|}).

이 외에도 D-Optimality(행렬식 최대화) 등의 기준이 사용될 수 있다.29

  1. 제약 조건:

최적화 과정에서 관절의 위치, 속도, 가속도, 토크 한계와 같은 물리적 제약 조건을 반드시 준수해야 한다. 이는 비선형 제약 최적화 문제(Nonlinear Constrained Optimization)가 되며, 일반적으로 fmincon이나 유전 알고리즘(Genetic Algorithm)과 같은 솔버가 사용된다.30

최적화 기준설명장점단점
Condition Number\sigma_{max} / \sigma_{min} 최소화잡음에 대한 최악의 경우(Worst-case) 오차 최소화계산 비용이 높음
D-Optimality\det(\mathbf{W}^T \mathbf{W}) 최대화추정 오차 타원체의 부피 최소화기하학적 해석이 용이함
E-Optimality\sigma_{min}(\mathbf{W}) 최대화가장 식별하기 어려운 파라미터의 정확도 향상다른 파라미터 정확도 희생 가능성

4.3 3단계: 데이터 수집 및 전처리(Data Preprocessing)

최적화된 궤적을 실제 로봇에서 실행하며 데이터를 수집할 때, 데이터의 품질이 식별 결과의 품질을 결정한다.

  • 필터링(Filtering): 엔코더에서 얻은 위치 데이터를 미분하여 속도와 가속도를 얻을 때, 고주파 잡음이 증폭된다. 이를 억제하기 위해 저역 통과 필터(Low-Pass Filter)를 사용해야 한다. 이때 중요한 것은 위상 지연(Phase Lag)의 제거이다. 일반적인 필터는 위상 지연을 발생시켜 입력(토크)과 출력(운동) 사이의 시간적 불일치를 초래하므로, 데이터를 정방향과 역방향으로 두 번 필터링하는 filtfilt (Zero-phase filtering) 기법을 사용하여 위상 왜곡을 없애야 한다.31
  • 다운샘플링(Decimation): 제어 주파수(예: 1kHz 이상)로 수집된 데이터는 서로 높은 상관관계(Auto-correlation)를 가지며, 이는 최소자승법의 통계적 가정(백색 잡음)을 위배할 수 있다. 적절한 비율로 데이터를 솎아내는 다운샘플링 과정이 필요하다.32

4.4 4단계: 매개변수 추정(Parameter Estimation) 알고리즘

전처리된 데이터 \mathbf{\tau}_{meas}와 구성된 관측 행렬 \mathbf{W}를 이용하여 파라미터 \hat{\pi}를 추정한다.

  1. 최소자승법 (Least Squares, LS):

가장 기본적이고 널리 쓰이는 방법이다.17
\hat{\pi}_{LS} = (\mathbf{W}^T \mathbf{W})^{-1} \mathbf{W}^T \mathbf{\tau}_{meas}
이 해는 관측 오차가 평균이 0인 정규 분포(Gaussian White Noise)를 따를 때, 최우도 추정(Maximum Likelihood Estimation)과 일치한다.

  1. 가중 최소자승법 (Weighted Least Squares, WLS):

각 관절마다 토크 센서의 잡음 수준이 다르거나, 특정 데이터 구간의 신뢰도가 다를 경우 가중치 행렬 \mathbf{\Sigma}^{-1}을 도입한다.27
\hat{\pi}_{WLS} = (\mathbf{W}^T \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{W})^{-1} \mathbf{W}^T \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{\tau}_{meas}

  1. 물리적 일관성 제약 (Physical Consistency Constraints):

순수 수학적 회귀 분석을 수행하면, 종종 질량이 음수(m_i < 0)가 되거나 관성 텐서가 양의 정부호 조건을 만족하지 않는 물리적으로 불가능한 결과가 나올 수 있다. 이는 측정 잡음이나 모델링 오차 때문이다. 이를 방지하기 위해 세미-데피니트 프로그래밍(Semidefinite Programming, SDP)이나 매니폴드 최적화(Manifold Optimization)를 사용하여 파라미터가 물리적으로 타당한 범위 내에 존재하도록 강제해야 한다.33 이는 추후 시뮬레이션의 안정성을 위해 매우 중요하다.

5. 강체 모델의 한계: 마찰, 유연성, 그리고 접촉

아무리 정교한 시스템 식별을 수행하더라도, 강체 동역학 식 Y\pi = \tau 만으로는 설명할 수 없는 ’잔차(Residual)’가 남는다. 이 잔차의 주범은 마찰(Friction), 유연성(Flexibility), 그리고 **접촉(Contact)**이다.

5.1 마찰의 비선형성과 모델링의 어려움

마찰은 로봇 제어에서 가장 다루기 까다로운 요소 중 하나이다. 단순한 쿨롱-점성 마찰 모델(F = F_c \text{sgn}(\dot{q}) + F_v \dot{q})은 속도가 0인 지점에서 불연속성을 가지며, 실제 물리 현상인 스트라이벡 효과(Stribeck Effect)—저속에서 마찰력이 감소하다가 다시 증가하는 현상—를 설명하지 못한다.10

  • 문제점: 속도가 0을 통과할 때(Zero-velocity crossing), 마찰 모델의 불연속성은 제어기에 채터링(Chattering)을 유발하거나, 정밀 위치 결정 시 한계 사이클(Limit Cycle) 진동을 일으킨다.
  • 해결책: 이를 극복하기 위해 루그레(LuGre) 모델과 같이 브리슬(Bristle)의 미세 변형을 고려한 동적 마찰 모델이 연구되거나, 최근에는 신경망을 이용해 마찰 오차를 학습하는 잔차 학습(Residual Learning) 기법이 도입되고 있다.34

5.2 유연 관절(Flexible Joint)과 백래시

감속기(특히 하모닉 드라이브)는 완벽한 강체가 아니며 탄성(Stiffness)을 가진다. 이로 인해 모터의 위치와 실제 링크의 위치 사이에 차이가 발생하며, 이는 시스템의 공진(Resonance)을 유발한다. 또한 기어 사이의 유격인 백래시(Backlash)는 입출력 관계를 끊어놓는 사구간(Dead-zone)을 형성한다. 강체 모델 기반 제어기는 이러한 고주파수 동역학을 모델링하지 않으므로, 제어 대역폭(Bandwidth)을 낮춰서 진동을 피해야 하는 성능상의 타협을 강요받는다.11

5.3 접촉 동역학(Contact Dynamics)과 LCP

로봇이 환경과 접촉하는 순간, 시스템의 자유도는 구속되고 동역학은 급변한다. 강체 가정 하에서 접촉은 충격력(Impulse)을 발생시키지만, 실제로는 물체의 변형(Compliance)이 힘을 분산시킨다. 강체 모델 기반의 시뮬레이터나 제어기는 접촉 문제를 **선형 상보성 문제(Linear Complementarity Problem, LCP)**로 풀어야 하는데, 이 과정에서 수치적 불안정성이나 물리적 침투(Penetration) 오차가 발생하기 쉽다.37 따라서 정밀한 힘 제어를 위해서는 강체 모델에 접촉 유연성(Contact Stiffness/Damping) 모델을 결합한 하이브리드 모델링이 요구된다.

6. 결론 및 시사점

정확한 물리 모델은 고성능 로봇 제어 시스템을 지탱하는 뿌리와 같다. MPC나 계산 토크 제어와 같은 화려한 제어 기법들은 이 뿌리가 튼튼할 때 비로소 그 꽃을 피울 수 있다. 본 장에서는 로봇 동역학의 선형 매개변수화 성질을 기반으로 한 시스템 식별의 이론과 실제를 상세히 고찰하였다.

우리는 동역학 식 Y\pi = \tau가 단순한 수식이 아니라 로봇의 물리적 DNA를 담고 있는 정보의 보고임을 확인했다. 최적화된 가진 궤적을 통해 이 정보를 최대한 추출하고, 통계적 기법을 통해 잡음 속에서 진실된 파라미터를 찾아내는 과정은 그 자체로 하나의 예술이자 과학이다.

하지만 모델은 영원히 현실의 근사(Approximation)일 뿐이다. 마찰, 유연성, 접촉과 같은 비선형 요소들은 여전히 모델링의 난제로 남아 있다. 따라서 미래의 로봇 제어 기술은 **‘극한으로 정밀한 물리 모델 식별’**과 **‘데이터 기반 학습(Data-Driven Learning)을 통한 잔차 보상’**이 융합되는 방향으로 나아가야 한다. 물리 모델이 전체적인 거동의 뼈대를 잡고, AI가 미세한 비선형 근육을 덧붙일 때, 비로소 로봇은 진정한 의미의 적응성과 정밀성을 갖추게 될 것이다.

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